Esta é uma unidade curricular introdutória aos principais conceitos, definiçõese técnicas de análise de sucessões e defunções reais de variável real.

Domínio das técnicas básicas necessárias à Análise Matemática de funções reais de variável real.

Pretende-se que os alunos adquiram não só capacidades de cálculo fundamentais paraa aprendizagem de alguns dosconhecimentos leccionados naFísica, Química eoutras disciplinas deEngenharia, mas também que desenvolvam métodos sólidos de raciocínio lógico e de análise.

Sendoa primeira disciplina deAnálise Matemática, consiste numa introduçãoa alguns dos conceitos que serão aprofundados e generalizados em disciplinas subsequentes do plano curricular.

1. Topologia elementar da recta real.

1.1 Vizinhança de um Ponto. Ponto Interior, Exterior, Fronteiro, Isolado, Aderente e de Acumulação.

1.2 Conjunto Aberto, Fechado, Limitado e Compacto.

2. Indução Matemática e sucessões

2.1 Princípio de Indução Matemática.

2.2 Limites de sucessões. Álgebra de limites. Subsucessões.Sublimites. Teorema das Sucessões Enquadradas. Teorema de Bolzano-Weierstrass e outros teoremas fundamentais. Sucessões de Cauchy.

3.Limites e Continuidade em R

3.1 Llimite segundo Cauchy e limite segundo Heine.Álgebra de limites.

3.2 Continuidade de uma Função num Ponto e num Conjunto. Prolongamento por Continuidade. Teorema de Bolzano e teorema de Weierstrass. Continuidade da Função Composta e Continuidade da Função Inversa. Funções Trignométricas Inversas.

4. Cálculo Diferencial em R

4.1 Definição de Derivada. Interpretação Física e Geométrica. Diferenciabilidade. Álgebra das Derivadas. Derivada da Função Composta e Derivada da Função Inversa. Derivadas das Funções Trignométricas Inversas. Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange. Derivada e Monotonia. Teorema de Draboux e Teorema de Cauchy. Indetermenições e Regra de Cauchy.

4.2 Teorema de Taylor e aplicações ao estudo de extremos e concavidades de funções.

5. Cálculo Integral em R

5.1 Primitivas. Primitivação por Partes. Primitivação por Substituição. Primitivação de Funções Racionais. Primitivação de Funções Irracionais e de Funções Transcendentes.

5.2 Integral de Riemann. Teorema do Valor Médio. Teorema Fundamental do Cálculo Integral. Regra de Barrow. Integração por Partes e integração por Substituição. Aplicação ao Cálculo de Áreas.

5.3 Integrais impróprios. Critérios de Convergência.

Texto adoptado

1. Ana Alves de Sá e Bento Louro, Cálculo Diferencial e Integral em ℝ

Bibliografia Recomendada

1. Alves de Sá, A. e Louro, B. - Cálculo Diferencial e Integral em ℝ, Exercícios Resolvidos, Vol. 1, 2, 3
2. Anton, H. - Cálculo, um novo horizonte, 6ª ed., Bookman, 1999
3. Campos Ferreira, J. - Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 1982
4. Sarrico, C. - Análise Matemática, Leituras e Exercícios, Gradiva, 1997
5. Larson, R.; Hostetler, R.; Edwards, B. - Calculus with Analytic Geometry, 5ª ed, Heath, 1994
6. Figueira, M. - Fundamentos de Análise Infinitesimal, Textos de Matemática, vol. 5, Departamento de Matemática, FCUL, 1996

O aluno devedominar os conhecimentos matemáticosministrados até àconclusão do Ensino Secundário.