Unidade curricular introdutória à Análise Matemática dedicada ao estudo das funções de uma variável real e dos tópicos associados (limite, continuidade, diferenciabilidade e cálculo integral).

Aquisição de conhecimentos e competências necessários à realização de subsequentes disciplinas de Análise Matemática, Probabilidades, Análise Numérica e às disciplinas científicas específicas de cada licenciatura ou mestrado integrado.

1. Topologiaelementar da recta real.

1.1 Vizinhança de um ponto. Ponto interior, exterior, fronteiro, isolado, aderente e de acumulação.

1.2 Conjunto aberto, fechado, limitado e compacto.

2. Indução Matemática e Sucessões

2.1 Princípio de Indução Matemática.

2.2 Noção de convergência e limite de uma sucessão. Álgebra de limites.Subsucessões. Sublimites. Teoremas Fundamentais. Sucessões de Cauchy.

3.Limites e Continuidade em R

3.1 Limite de uma função segundo Cauchy e segundo Heine. Álgebra de limites.

3.2 Continuidade de uma função num ponto. Prolongamento por continuidade.Teorema de Bolzano e Teorema de Weierstrass. Continuidade da função composta. Continuidade da função inversa para a composição de funções. Funções inversas clássicas.

4. Cálculo Diferencial em R

4.1 Definição de diferenciabilidade num ponto. Interpretação geométrica. Derivada de uma função. Derivada da função composta e derivada da função inversa. Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange. Derivada e monotonia. Teorema de Darboux e Teorema de Cauchy. Regra de L''Hospital-Cauchy.

4.2 Teorema de Taylor e aplicações.

5. Cálculo Integral em R

5.1 Primitivas. Primitivação por partes. Primitivação por substituição. Primitivação de funções racionais. Primitivação de funções irracionais e de funções transcendentes.

5.2 Integral de Riemann. Teorema do valor médio. Teorema Fundamental do Cálculo Integral. Regra de Barrow. Integração por partes e integração por substituição. Aplicação ao cálculo de áreas.

5.3 Integrais impróprios.

A disciplina dispõe de um texto de apoio disponibilizado no CLIP. Além deste, recomendamos ao aluno a consulta dos seguintes textos:

Alves de Sá, A. e Louro, B., Cálculo Diferencial e Integral emℝ

Alves de Sá, A. e Louro, B., Cálculo Diferencial e Integral emℝ, Exercícios Resolvidos, Vol. 1,2,3

Anton, Bivens and Davis, Calculus ed Wiley.

Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, ed Fundação Calouste Gulbenkian.

Lages de Lima, E., Curso de Análise Vol 1, ed IMPA (projeto Euclides)

Rudin, Principles of Mathematical Analysis, ed Mac Graw Hill

Nota 1: Para o aluno interessado na história dos conceitos leccionados na disciplina, recomendamos

Hairer E. Wanner G. Analysis by Its History, Springer.

Bento de Jesus Caraça, Conceitos Fundamentais da Matemática.

Nota 2: O Aluno poderá praticar os exercícios de testes e exames de edições anteriores da disciplina e que se encontram disponíveis no CLIP.

Os aluno deve dominar os conteúdos programáticos de Matemática A do Ensino Secundário português.