Álgebra Linear e Geometria Analítica (2017/2018) - Departamento de Matemática
Descrição

Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica

Objectivos

Pretende-se que o aluno adquira conhecimentos básicos de Álgebra Linear e Geometria Analítica(vide Programa da disciplina) e que o processo de aprendizagem favoreça o desenvolvimento do raciocínio lógico e do espírito crítico do aluno.

Programa

ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 1 - MATRIZES

Definição de matriz, operações com matrizes e alguns resultados básicos. Matrizes em forma de escada e em forma de escada reduzida. Método de eliminação de Gauss-Jordan. Três caracterizações das matrizes invertíveis. Processo para determinação da inversa de uma matriz invertível.

CAPÍTULO 2 - SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

Definições básicas: solução de um sistema, classificação de um sistema. Sistemas equivalentes. Representação matricial de um sistema de equações lineares. Resolução e discussão de sistemas. Outra caracterização das matrizes invertíveis.

CAPÍTULO 3 - DETERMINANTES

Definição de determinante de uma matriz. Algumas propriedades envolvendo determinantes. Teorema de Laplace. Caracterização das matrizes invertíveis através do determinante. Cálculo da inversa de uma matriz invertível a partir da sua adjunta. Regra de Cramer.

CAPÍTULO 4 - ESPAÇOS VECTORIAIS

O conceito de espaço vectorial. Algumas propriedades dos espaços vectoriais. Definição de subespaço de um espaço vectorial. Os conceitos de combinação linear e de dependência/independência linear de uma sequência de vectores. Bases e dimensão de um espaço vectorial. O Teorema do Completamento. O Teorema das Dimensões. Utilização das matrizes para determinação de uma base e determinação da dimensão do subespaço vectorial gerado por umasequência de vectores.

CAPÍTULO 5 - APLICAÇÕES LINEARES

Definição e propriedades das aplicações lineares. Núcleo e Imagem de uma aplicação linear. Teorema da Dimensão. Teorema da Extensão Linear. Matriz de uma aplicação linear. Isomorfismos. Definição e resultados envolvendo matrizes de mudança de base.

CAPÍTULO 6 - VALORES E VECTORES PRÓPRIOS

Valores e vectores próprios de um endomorfismo e de uma matriz. Polinómio característico de uma matriz e multiplicidade algébrica de um valor próprio. Subespaço próprio associado a um valor próprio. Multiplicidade geométrica de um valor próprio. Matrizes e endomorfismos diagonalizáveis. Duas condições necessárias e suficientes para um endomorfismo/matriz ser diagonalizável. Determinação da matriz "diagonalizante".

CAPÍTULO 7 - PRODUTO INTERNO, PRODUTO EXTERNO E PRODUTO MISTO DE VECTORES

Definição de norma de um vector e definição de ângulo formado por dois vectores. Produto interno de dois vectores de R3. Sequências ortogonais de vectores. Bases ortogonais e bases ortonormadas. Produto interno em bases ortonormadas. Aplicação do produto interno ao cálculo do ângulo definido por dois vectores. Os conceitos de base directa e de base inversa de R3. Produto externo e produto misto de vectores de R3. Interpretação geométrica da norma do produto externo de dois vectores e do módulo do produto misto.

CAPÍTULO 8 - GEOMETRIA ANALÍTICA

Representações cartesianas da recta e do plano. Posições relativas entre duas rectas, entre dois planos e entre uma recta e um plano. Problemas métricos e não métricos: distâncias e ângulos.

Bibliografia Principal



ISABEL CABRAL, CECÍLIA PERDIGÃO, CARLOS SAIAGO, Álgebra Linear, Escolar Editora, 2014 (4ª Edição).

T. S. Blyth e E. F. Robertson, Essential student algebra. Volume two: Matrices and Vector Spaces, Chapman and Hall, 1986.

T. S. Blyth e E. F. Robertson, Basic Linear Algebra (Springer undergraduate mathematics series), Springer, 1998.

S. J. Leon, Linear Algebra with Applications, 6th Edition, Prentice Hall, 2002.

J. V. Carvalho, Álgebra Linear e Geometria Analítica, texto de curso ministrado na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa, Departamento de Matemática da FCT/UNL, 2000. http://ferrari.dmat.fct.unl.pt/personal/jvc/alga2000.html

E. Giraldes, V. H. Fernandes e M. P. M. Smith, Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill de Portugal, 1995.

Requisitos Prévios

Conhecimentos de Matemática correspondentes ao ensino pré-universitário português (área de ciências).

Esforço do Aluno
  Horas por crédito 28
  Horas p/ semana Semanas Horas
Aulas teóricas 3 13 39.0
Avaliação   6.0
Orientação tutorial   2.0
Total de Horas 47
ECTS 6.0